Урок 8.03. Развёрнутая форма записи числа

Перевод небольших десятичных чисел в двоичную систему счисления и двоичных чисел в десятичную систему счисления, выполнение операций сложения и умножения над небольшими двоичными числами

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
На основании формулы
Aq = ± (an-1 · qn-1 + an-2 · qn-2 + ... + a0 · q0 + a-1 · q-1 + ... + a-m · q-m)
 
для целых двоичных чисел можно записать:
an-1an-2...a1a2 = an-1 · 2n-1 + an-2 · 2n-2 + ... + a0 · 20.
                    (1')
 
Например: 100112 = 1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 24 + 21 + 20 = 1910.
 
Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: 
Необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.
Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1').
*** Разделим an-1 · 2n-1 + an-2 · 2n-2 + ... + a0 · 20 на 2. Частное будет равно an-1 · 2n-2 + ... + a1, а остаток будет равен a0.
*** Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a1.
*** Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр: a0, a1, a2, ... , an-1, которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 1. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 1110 = 10112.
 
Пример 2. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
36310 = 1011010112

Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:
Пример 3. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
Пример 4. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
Опубликовано в 8 класс
Теги
Наверх