Проценты

Проценты

Проценты помогают описать часть чего-либо: сколько сахара в клубнике, какую долю пути прошёл турист или насколько изменилась цена.

Что такое процент

Один процент — это одна сотая часть величины:

\[ 1\%=\frac1{100}=0{,}01. \]

Представьте квадрат из 100 одинаковых клеток. Одна клетка — это 1% квадрата, 25 клеток — 25%, а все 100 клеток — 100%.

Чтобы найти 1% от 300 кг, делим 300 на 100:

\[ 300:100=3\text{ кг}. \]

Значит, 1% от 300 кг равен 3 кг. 100% — это вся величина, от которой мы считаем проценты. Иногда процент бывает больше 100%: 200% — это вдвое больше исходной величины.

 

Как переводить проценты в числа и обратно

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, разделите число перед знаком % на 100:

Проценты Деление Число
6% 6 : 100 0,06
50% 50 : 100 0,5
125% 125 : 100 1,25

Чтобы сделать обратное, умножьте число на 100 и допишите %: \(0{,}8=80\%\), а \(1{,}4=140\%\).

 

Как найти процент от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в дробь и умножить данное число на эту дробь.

\[ p\%\text{ от числа }a=a\cdot\frac p{100}. \]

Например, найти 20% от 80:

\[ 20\%=0{,}2,\qquad 80\cdot0{,}2=16. \]

Проверка на смысл: 20% — это одна пятая; \(80:5=16\).

 

Примеры

Пример 1: сахар в клубнике

Клубника содержит 6% сахара. Сколько сахара в 15 кг клубники?

Переводим процент в дробь: \(6\%=0{,}06\). Теперь берём эту часть от 15 кг:

\[ 15\cdot0{,}06=0{,}9\text{ кг}. \]

Ответ: 0,9 кг сахара.

Проверка: 1% от 15 кг — 0,15 кг; 6% — \(0{,}15\cdot6=0{,}9\) кг.

 

Пример 2: оставшаяся часть

В магазин завезли 600 кг конфет, печенья и мармелада. Конфеты составили 40%, печенье — 25%. Сколько завезли мармелада?

Сначала находим долю мармелада. Все товары вместе — 100%:

\[ 100\%-40\%-25\%=35\%. \]

Теперь находим 35% от 600 кг:

\[ 600\cdot0{,}35=210\text{ кг}. \]

Ответ: 210 кг мармелада.

Примечание. Здесь нельзя сразу сложить 40% и 25% и назвать результат долей мармелада: 65% — это доля двух других товаров.

 

Пример 3: увеличение суммы

Вкладчик положил в банк 45 000 ₽ под 9% годовых. Какая сумма будет на счёте через год?

Начисленные деньги составят:

\[ 45\,000\cdot0{,}09=4050\text{ ₽}. \]

Добавляем их к исходной сумме:

\[ 45\,000+4050=49\,050\text{ ₽}. \]

Ответ: 49 050 ₽.

Примечание. Можно короче: после увеличения на 9% новая сумма составляет \(109\%=1{,}09\) исходной, поэтому \(45\,000\cdot1{,}09=49\,050\).

 

Пример 4: проценты от неизвестного числа

В магазин привезли 480 кг шоколадных конфет и карамели. Масса карамели составляет 60% массы шоколадных конфет. Сколько привезли шоколадных конфет?

Обозначим массу шоколадных конфет через \(x\) кг. Тогда карамели \(0{,}6x\) кг. Вместе их 480 кг:

\[ x+0{,}6x=480, \]\[ 1{,}6x=480, \]\[ x=480:1{,}6=300. \]

Ответ: 300 кг шоколадных конфет.

Проверка: карамели \(300\cdot0{,}6=180\) кг; \(300+180=480\) кг.

 

Пример 5: два изменения подряд

Товар стоил 1000 ₽. Сначала цену снизили на 20%, затем новую цену повысили на 20%.

После снижения: \(1000-1000\cdot0{,}2=800\) ₽. Теперь 20% считаем от 800 ₽, поэтому новая прибавка — \(800\cdot0{,}2=160\) ₽.

Итоговая цена: \(800+160=960\) ₽. Цена не вернулась к 1000 ₽, потому что во второй раз процент считали от другой суммы.

 

Где чаще всего ошибаются?

  1. Умножают на 6 вместо \(0{,}06\). При поиске 6% от числа надо записать \(6\%=0{,}06\). Например, \(15\cdot0{,}06=0{,}9\), а не \(15\cdot6\).

  2. Забывают, от чего считается процент. Если карамель составляет 60% массы шоколадных конфет, за 100% принимают массу шоколадных конфет, а не массу всех сладостей.

  3. После изменения считают процент от старой величины. При последовательных скидках и наценках каждый следующий процент берут от цены, которая получилась на предыдущем шаге.

 

Нахождение числа по его процентам

Если 84 л — это 70% объёма бочки, то вся бочка — 100%. Сначала переведём проценты в десятичную дробь:

\[ 70\%=0{,}7. \]

Число 84 составляет \(0{,}7\) от полного объёма. Чтобы восстановить полный объём, делим:

\[ 84:0{,}7=120\text{ л}. \]

Правило: чтобы найти число по его процентам, представьте проценты в виде дроби и разделите известную часть на эту дробь.

\[ \text{Всё число}=\text{известная часть}:\frac{\text{число процентов}}{100}. \]

Проверка обязательна: найдите указанный процент от полученного числа. Здесь \(120\cdot0{,}7=84\) л — условие выполнено.

 

Как понять, умножать или делить?

Что известно Что ищем Действие
Вся величина и процент Часть величины Умножаем на дробь
Часть величины и её процент Всю величину Делим на дробь

Например, 70% от 120 — это \(120\cdot0{,}7=84\). А если 84 составляют 70%, то всё число равно \(84:0{,}7=120\).

 

Примеры

Пример 6. Бочка с водой

В бочку налили 84 л воды, заполнив 70% её объёма. Каков объём бочки?

\[ 70\%=0{,}7,\qquad 84:0{,}7=120\text{ л}. \]

Ответ: 120 л. Проверка: 70% от 120 л — 84 л.

 

Пример 7. Процент больше 100

Рабочий сделал 48 деталей — это 120% плана. Сколько деталей составлял план?

\[ 120\%=1{,}2,\qquad 48:1{,}2=40. \]

Ответ: 40 деталей.

Это разумно: 120% плана больше самого плана, поэтому план должен быть меньше 48. Проверка: \(40\cdot1{,}2=48\).

 

Пример 8. Сначала нужный процент

В роще дубы составляют 15% всех деревьев, клёны — 23%, а остальные 248 деревьев — берёзы. Сколько всего деревьев?

Берёзы составляют:

\[ 100\%-15\%-23\%=62\%. \]

Значит, 248 деревьев — это 62% всех деревьев. Ищем целое:

\[ 62\%=0{,}62,\qquad 248:0{,}62=400. \]

Ответ: 400 деревьев.

Проверка: \(400\cdot0{,}62=248\) берёз.

 

Пример 9. Сколько было до подорожания

После повышения цены на 25% книга стоит 500 ₽. Сколько она стоила раньше?

Первоначальная цена — 100%. После повышения новая цена составляет \(100\%+25\%=125\%\) первоначальной.

\[ 125\%=1{,}25,\qquad 500:1{,}25=400\text{ ₽}. \]

Ответ: 400 ₽.

Проверка: 25% от 400 ₽ — 100 ₽; \(400+100=500\) ₽.

 

Пример 10. Остаток после двух действий

В первый день прочитали 25% книги. Во второй — 40% оставшихся страниц. После этого осталось 90 страниц. Сколько страниц было в книге?

После первого дня осталось \(100\%-25\%=75\%\) книги. После второго дня осталось \(100\%-40\%=60\%\) от этого остатка. Значит, 90 страниц составляют

\[ 0{,}75\cdot0{,}6=0{,}45 \]

всей книги, то есть 45%. Тогда в книге:

\[ 90:0{,}45=200\text{ страниц}. \]

Ответ: 200 страниц.

Проверка: в первый день прочитали 50 страниц, осталось 150; во второй прочитали 60 страниц, осталось 90.

 

Типичные ошибки

  1. Умножить известную часть на процент. Если 84 л — это 70%, выражение \(84\cdot0{,}7\) найдёт 70% от 84 л, а нам нужна вся бочка. Верное действие: \(84:0{,}7\).

  2. Принять увеличенную цену за 100% первоначальной. После повышения на 25% новая цена составляет 125% первоначальной. Поэтому первоначальную цену ищем делением новой цены на \(1{,}25\).

  3. Сложить проценты с разными основаниями. Если сначала взяли 25% книги, а затем 40% остатка, нельзя считать, что взяли \(25\%+40\%=65\%\) книги. Во второй раз процент относится уже к меньшему числу страниц.

Короткая памятка

  • \(1\%=\frac1{100}=0{,}01\).
  • Чтобы найти \(p\%\) от числа, надо умножить число на \(\frac p{100}\).
  • Часть известна, ищем целое — делим часть на соответствующую долю.
  • Перед решением спросите себя: «Что в этой задаче принято за 100%?»
  • Перед вычислением выясните, от какой величины взят процент, и проверьте ответ обратным действием.
  • Если величина меняется несколько раз, каждый новый процент считается от нового значения.