Математика

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком, или вектором.

Общие сведения

Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например $ \vec{AB} $. Первая буква обозначает начало вектора, вторая — его конец. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например $ \vec{a} $.

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. Нулевой вектор обозначается символом $ \vec{0} $.

Длиной, или модулем ненулевого вектора $ \vec{AB} $ называется длина отрезка $ AB $. Длина вектора $ \vec{AB} $ обозначается так: $ |\vec{AB}| = AB $.

Длина нулевого вектора считается равной нулю: $ |\vec{0}| = 0 $.

Коллинеарность

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Коллинеарные векторы можно разбить на две группы: сонаправленные и противоположно направленные векторы. 

Нулевой вектор $ \vec{0} $ считается колинеарным и сонаправленным любому вектору.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Если перед вектором поставить знак минус, то вектор просто поменяет направление. Таким образом, векторы $ \vec{b} $ и $ -\vec{b} $ равны по длине, коллинеарны и противоположно направлены.

Правило треугольника

Пусть $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ — два вектора, которые надо сложить. Обозначим начало вектора $ \vec{a} $ за точку $ A $, его конец за точку $ B $ и параллельно перенесем начало вектора $ \vec{b} $ в точку $ B $. Пусть получился вектор $ \vec{BC} $, равный $ \vec{b} $. Тогда вектор $ \vec{AC} $ называется суммой векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Правило параллелограмма

Рассмотрим случай, когда векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ выходят из одной точки. В таком случае мы можем достроить эту конструкцию до параллелограмма и получить из каждой пары противоположных сторон пары равных векторов. Тогда по правилу треугольника $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} = \vec{b} + \vec{a} $.

Разность векторов

Пусть векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ отложены из одной точки. При этом вектор $ \vec{c} $ такой, что $ \vec{a} = \vec{b} + \vec{c} $, то есть вектор $ \vec{a} $ можно получить, сложив векторы $ \vec{b} $ и $ \vec{c} $ по правилу треугольника. Тогда обозначим $ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} $ и назовем вектор $ \vec{c} $ разностью векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. 

Правила умножения вектора на число

Пусть $ x $ и $ y $ — некоторые числа, $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ — некоторые векторы. Тогда

1. $ (x + y) \cdot \vec{a} = x \cdot \vec{a} + y \cdot \vec{a} $
2. $ x \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = x \cdot \vec{a} + x \cdot \vec{b} $
3. $ (x \cdot y) \cdot \vec{a} = x \cdot (y \cdot \vec{a}) $

Пусть даны два неколлинеарных вектора $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Тогда любой вектор $ \vec{c} $ можно представить в виде $ \vec{c} = x \cdot \vec{a} + y \cdot \vec{b} $, где $ x $ и $ y $ — некоторые числа.

Пусть вектор $ \vec{b} $ имеет координаты $ (x; y) $. Тогда длину вектора можно найти по формуле $ |\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2} $. В основе формулы лежит Теорема Пифагора.

Пусть есть вектор $ \vec{a} $ имеет начало в точке с координатами $ (x_1; y_1) $ и конец в точке с координатами $ (x_2; y_2) $. Тогда координаты вектора $ \vec{a} $ равны $ (x_2 - x_1; y_2 - y_1) $.

• При сложении векторов $ \vec{a} (x_1; y_1) $ и $ \vec{b} (x_2; y_2) $ их координаты складываются, то есть $ \vec{a} (x_1; y_1) + \vec{b} (x_2; y_2) = \vec{c} (x_1 + x_2; y_1 + y_2) $

• При вычитании векторов $ \vec{a} (x_1; y_1) $ и $ \vec{b} (x_2; y_2) $ их координаты вычитаются, то есть $ \vec{a} (x_1; y_1) - \vec{b} (x_2; y_2) = \vec{c} (x_1 - x_2; y_1 - y_2) $

• При умножении вектора $ \vec{a} (x_1; y_1) $ на число $ k $ его координаты умножаются на $ k $, то есть $ k \cdot \vec{a} (x_1; y_1) = \vec{c} (k \cdot x_1; k \cdot  y_1) $

Угол между 2 векторами

Пусть даны два вектора $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Чтобы найти угол между ними, выберем произвольную точку $ O $ и отложим от неё векторы $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $, соответственно равные векторам $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Полученный угол $ \angle AOB $ и есть угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

Скалярное произведение

Скалярным произведением $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ двух векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ с углом $ \varphi $ между ними называют следующее выражение: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\varphi} $, где $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $ — длины соответствующих векторов.

Если векторы имеют координаты, то есть $ \vec{a}(x_a; y_b) $ и $ \vec{b}(x_b; y_b) $, то скалярное произведение можно найти по формуле $ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b $.

Так как в координатах длины векторов $ \vec{a} = \sqrt{x_a^2 + y_a^2} $ и $ \vec{b} = \sqrt{x_b^2 + y_b^2}$, то с помощью координат можно определить угол между векторами через его косинус:

$$ \cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b}{\sqrt{x_a^2 + y_a^2} \cdot \sqrt{x_b^2 + y_b^2}}. $$

Свойства скалярного произведения