Математика

Любая задача с кредитом или вкладом всегда включает в себя сумму кредита или вклада $ S $, процентную ставку $ r $, периоды оплаты $ n $ и размер платежа или величину уменьшения долга $ x $.

Для всех экономических задач будем вводить новую переменную — коэффициент $ 𝑘 = 1 + \frac{r}{100} $. Мы помним, что $ 1 \% $ – это одна сотая часть числа. Чтобы увеличить число $ 𝑆 $ на $ 𝑟 \% $, надо к этому числу $ 𝑆 $ прибавить $ 𝑟 \% $ от него. То есть: $ 𝑆 + 𝑆 \cdot \frac{r}{100} = 𝑆 \cdot (1 + \frac{𝑟}{100}) $. В последнем выражении будем заменять $ 1 + \frac{𝑟}{100} $ на коэффициент $ 𝑘 $, то есть на значение, которое будет увеличивать основной долг каждый период. Уменьшение числа на процент работает точно так же, только в обратную сторону: $ 𝑆 − 𝑆 \cdot \frac{𝑟}{100} = 𝑆 \cdot (1 − \frac{𝑟}{100}) $.

Часто для расчета суммы выплат при аннуитетных платежах может использоваться геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия $ (𝑏_𝑛) $ имеет вид $ 𝑏_𝑛 = 𝑏_1 \cdot 𝑞^{𝑛−1} $ или $ 𝑏_1; ~ 𝑏_1𝑞; ~ 𝑏_1𝑞^2; ~ 𝑏_1𝑞^3; ... $, где $ 𝑏_1 $ – первый член геометрической прогрессии, $ 𝑞 $ – знаменатель геометрической прогрессии, $ 𝑛 $ – порядковый номер члена геометрической прогрессии. Тогда сумму первых $ 𝑛 $ членов геометрической прогрессии можно найти по формуле $ 𝑆_𝑛 = 𝑏_1 \cdot \frac{𝑞^𝑛 − 1}{𝑞 − 1} $.

Аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж — платеж, который выплачивается равными частями один раз в определенный период времени.

Платеж по кредиту всегда состоит их двух частей: основное тело долга и проценты по основному долгу. Вне зависимости от долга размер платежа меняться не будет. Таким образом, каждый расчетный период выплачиваются как основной долг, так и его проценты. Основная часть выплат расходуется сначала на погашение процентов, а потом — самого долга. С течением времени соотношение выплат выравнивается, затем — меняется в обратную сторону.

Ключевые слова

Ключевые слова, которые встречаются в задачах на аннуитетный платеж:

• Платежи должны быть равны.
• Необходимо выплачивать часть долга одним платежом.
• Кредит будет погашен равными платежами.

Таблица

Для решения задачи потребуется составить таблицу, включающую в себя следующие столбцы:

• Период (год, месяц).
• Долг до начисления процентов.
• Долг после начисления процентов.
• Выплата по долгу.
• Остаток.

Помимо этого, могут встречаться дополнительные условия в задаче, которые расширяют таблицу или дают дополнительные уравнения для получения ответа.

Рассмотрим общий пример оформления задачи с аннуитетными платежами.

Пример

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму $ S $. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $ r \% $ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен $ n $ равными платежами (т. е. за $ n $ лет), и общая сумма платежей составит $ P $ тыс. рублей?

Решение

Запишем условие задачи, обозначив все переменные. Пусть:

• $ S $ — сумма кредита
• $ r $ — процентная ставка по кредиту или процент увеличения долга
• $ k = 1 + \frac{r}{100} $ — коэффициент увеличения кредита
• $ n $ — количество периодов оплаты (в годах)
• $ x $ — выплата по кредиту каждый год
• $ P $ — общая сумма платежей

Составим таблицу:

Заполним таблицу данными из условия задачи шаг за шагом. Так как сумма кредита неизвестна, то в первый период в столбец «Долг до начисления процентов» запишем $ 𝑆 $. Тогда долг после начисления процентов увеличился на $ 𝑟 \% $ и стал равен $ 𝑆 \cdot (1 + \frac{𝑟}{100}) = 𝑆 \cdot 𝑘 $. Остаток долга будет вычислен как разность между долгом после начисления процентов и выплатой. Получим таблицу:

Тогда во второй период оплаты долг до начисления процентов будет равен остатку долга в 1 период — $ (𝑆𝑘 − 𝑥) $. И при начислении процентов по долгу будем использовать именно это выражение. Получим для второго периода долг после начисления процентов — $ (𝑆𝑘 − 𝑥) \cdot 𝑘 $. Остаток после выплаты будет меньше на 𝑥, то есть равен $ (𝑆𝑘 − 𝑥)𝑘 − 𝑥 $. Рассчитаем выплату во второй период так же, как и в первый — разность между долгом после начисления процентов и остатком. Заполним таблицу для второго периода.

По аналогии с предыдущими периодами заполним таблицу следующим периодом и до периода $ n $.  В итоге получим:

Так как кредит выплачен полностью, то остаток в период $ n $ будет равен нулю. Таким образом, получаем уравнение:

$$ ((...((Sk - x)k - x)...)k - x)k - x = 0 $$

Если раскроем последовательно скобки в данном уравнении, то получим: 

$$ Sk^n - k^{n-1}x - k^{n-2}x - ... - k^2x - kx - x = 0 $$

Вынесем $ -x $ за скобки, получим:

$$ Sk^n - x(k^{n-1} + k^{n-2} + ... + k^2 + k + 1) = 0 $$

В скобках получим геометрическую прогрессию со знаменателем $ 𝑘 $ и первым членом $ 𝑏_1 = 1 $. Вычислим сумму по формуле $ 𝑆_𝑛 = 𝑏_1 \cdot \frac{𝑞^𝑛−1}{𝑞−1} $. Тогда получим:

$$ Sk^n - x \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} = 0 $$

Если по условию задачи известно, что все выплаты составляют $ P = n \cdot 𝑥 $, то $ 𝑥 = \frac{P}{n} $. Подставим данное выражение вместо $ x $ в уравнение и получим:

$$ Sk^n - \frac{P}{n} \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} = 0 $$

Получили общее выражение для поиска неизвестного компонента:

• суммы кредита;
• суммы выплат или переплаты;
• периодов оплаты;
• процента по кредиту.