Математика

Любая задача с кредитом или вкладом всегда включает в себя сумму кредита или вклада $ S $, процентную ставку $ r $, периоды оплаты $ n $ и размер платежа или величину уменьшения долга $ x $.

Для всех экономических задач будем вводить новую переменную — коэффициент $ 𝑘 = 1 + \frac{r}{100} $. Мы помним, что $ 1 \% $ – это одна сотая часть числа. Чтобы увеличить число $ 𝑆 $ на $ 𝑟 \% $, надо к этому числу $ 𝑆 $ прибавить $ 𝑟 \% $ от него. То есть: $ 𝑆 + 𝑆 \cdot \frac{r}{100} = 𝑆 \cdot (1 + \frac{𝑟}{100}) $. В последнем выражении будем заменять $ 1 + \frac{𝑟}{100} $ на коэффициент $ 𝑘 $, то есть на значение, которое будет увеличивать основной долг каждый период. Уменьшение числа на процент работает точно так же, только в обратную сторону: $ 𝑆 − 𝑆 \cdot \frac{𝑟}{100} = 𝑆 \cdot (1 − \frac{𝑟}{100}) $.

Часто для расчета суммы выплат при дифференцированных платежах может использоваться арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия $ (a_𝑛) $ имеет вид $ a_𝑛 = a_1 + d(𝑛−1) $ или $ a_1; ~ a_1 + d; ~ a_1 + 2d; ~ a_1 + 3d; ... $, где $ a_1 $ – первый член арифметической прогрессии, $ d $ – разность арифметической прогрессии, $ 𝑛 $ – порядковый номер члена арифметической прогрессии. Тогда сумму первых $ 𝑛 $ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле $ 𝑆_𝑛 = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $.

Дифференцированный платеж

Дифференцированный платеж — платеж, который который равномерно уменьшает сумму долга.

Платеж по кредиту всегда состоит их двух частей: основное тело долга и проценты по основному долгу. Сумма кредита делится на несколько равных частей, зависящих от количества периодов выплат. Таким образом, и сумма долга, и проценты по долгу выплачиваются одновременно: с каждым периодом выплат платеж будет уменьшаться, так как уменьшается процент, начисляемый на остаток долга. 

Ключевые слова

Ключевые слова, которые встречаются в задачах на дифференцированный платеж:

• После начисления процентов необходимо выплатить часть долга.
• Долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга предыдущего периода.
• Кредит должен быть выплачен за фиксированное количество периодов (месяцев, лет).
  

Таблица

Для решения задачи потребуется составить таблицу, включающую в себя следующие столбцы:

• Период (год, месяц).
• Долг до начисления процентов.
• Долг после начисления процентов.
• Выплата по долгу.
• Остаток.

Помимо этого, могут встречаться дополнительные условия в задаче, которые расширяют таблицу или дают дополнительные уравнения для получения ответа.

Рассмотрим общий пример оформления задачи с дифференцированным платежом.

Пример

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на n месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $ r% $ по сравнению с концом предыдущего месяца.
• Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга.
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. 
• В конце периода оплаты кредит должен быть полностью погашен. 

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного его погашения составит $ P $ тыс. рублей?

Решение

Запишем условие задачи, обозначив все переменные. Пусть:

• $ S $ — сумма кредита
• $ r $ — процентная ставка по кредиту или процент увеличения долга
• $ k = 1 + \frac{r}{100} $ — коэффициент увеличения кредита
• $ n $ — количество периодов оплаты (в месяцах)
• $ x $ — выплата по кредиту каждый год
• $ P $ — общая сумма платежей

Составим таблицу:

Заполним таблицу данными из условия задачи шаг за шагом. Так как сумма кредита неизвестна, то в первый период в столбец «Долг до начисления процентов» запишем $ 𝑆 $. Тогда долг после начисления процентов увеличился на $ 𝑟 \% $ и стал равен $ 𝑆 \cdot (1 + \frac{𝑟}{100}) = 𝑆 \cdot 𝑘 $. Зная, что часть долга надо оплатить одним платежом, и что долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга предыдущего месяца, уменьшим остаток долга $ S $ на величину $ x $. Тогда выплату можем вычислить как разницу между суммой долга после начисления процентов и остатком. Заполним таблицу для 1 периода:

Остаток долга на конец 1 периода будет равен долгу до начисления процентов за 2 период. Запишем данные для 2 периода по аналогии с первым, помня, что часть долга надо оплатить одним платежом и что долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга. Выплату за 2 период вычислим так же: разница между суммой долга после начисления процентов и остатком.

Для всех последующих периодов используется та же логика для заполнения ячеек таблицы данными. Найдем закономерность и, действуя по аналогии с предыдущими периодами, заполним данные для всех периодов:

Все выплаты по условию задачи равны $ P $ тыс. руб. Составим уравнение:

$$ Sk - (S - x) + (S - x)k - (S - 2x) + (S - 2x)k - (S - 3x) + ... + (S - (n - 1)x)k = P $$

Сгруппируем каждые два слагаемых суммы, начиная со второго, и вынесем скобку как общий множитель у каждой пары. Получим

$$ Sk + (S - x)(k - 1) + (S - 2x)(k - 1) + ⋯ + (S - (n - 1)x)(k - 1) = P $$

Теперь вынесем $ (k - 1) $ в качестве общего множителя:

$$ Sk + (k - 1)(S - x + S - 2x + ⋯ + S - (n - 1)x) = P $$

Внутри большой скобки мы получим сумму $ S $ в количестве $ n - 1 $ штуки (все периоды, кроме последнего) и арифметическую прогрессию из слагаемых, содержащих x

$$ Sk + (k - 1)((n - 1)S - x(1 + 2 + ⋯ + (n-1))) = P $$

По формуле суммы арифметической прогрессии получим, что $ S_{n-1} = \frac{1 + n - 1}{2} \cdot (n - 1) = \frac{n(n-1)}{2} $. Тогда

$$ Sk + (k - 1)(S(n - 1) - x \cdot \frac{n(n-1)}{2}) = P $$

$$ Sk + (k - 1)(n - 1)(S - \frac{xn}{2}) = P $$

По условию задачи может быть известен остаток долга $ S_o $ на какой-либо период выплаты $ n_o $, который можно записать формулой $ S_o = S - n_o \cdot x $. Значит, из этого равенства можно выразить выплату $ x = \frac{S - S_o}{n_o} $ и подставить в полученное ранее выражение.

Данную формулу можно использовать для поиска неизвестного компонента:

• суммы кредита;
• суммы выплат или переплаты;
• периодов оплаты;
• процента по кредиту.