Задание направлено на проверку умений по нахождению элементов треугольников различных видов: произвольных, равнобедренных, равносторонних, прямоугольных. Также пригодятся умения применять признаки равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника, теорему Пифагора, тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей.
Смежные углы
Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Свойство. Сумма смежных углов равна 180о.
Следствие. Если смежные углы равны, то они прямые.
Вертикальные углы
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство. Вертикальные углы равны.
Треугольник
Определение. Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180о.
Теорема 2 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие (из Т2). Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
Теорема 3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.
Теорема 4 (обратная Т3). В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Признаки равенства треугольников
Признак 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признак 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признак 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки подобия треугольников
Признак 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Признак 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Признак 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Равнобедренный треугольник
Определение. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Свойство 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Свойство 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Свойство 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Свойство 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Равносторонний треугольник
Определение. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
Свойство. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60о (следствие из теоремы о сумме углов треугольника).
Прямоугольный треугольник
Определение. Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, у которой один из углов прямой (равен 90о).
Теорема 1. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30о, равен половине гипотенузы.
Теорема 2 (обратная Т1). Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30о.
Следствие 1 (из формулы площади). Высота прямоугольного треугольника равна отношению произведения катетов к гипотенузе $ h = \frac{a \cdot b}{c} $.
Теорема 3 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема 4 (обратная теореме Пифагора). Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Теорема 5. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному.
Теорема 6 (среднее пропорциональное). Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой $ h = \sqrt{c_a \cdot c_b} $.
Теорема 7 (среднее пропорциональное). Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, опущенной из вершины прямого угла $ a = \sqrt{c \cdot c_a} $ или $ b = \sqrt{c \cdot c_b} $.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Признак 1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Признак 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
Признак 3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольнике равны.
Признак 4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Внешний угол треугольника
Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Следствие 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Следствие 2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы равны.
Биссектриса
Определение. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведённый от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной.
Теорема 1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.
Медиана
Определение. Медиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине.
Следствие 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Высота
Определение. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
Следствие 1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Серединный перпендикуляр
Определение. Серединный перпендикуляр — прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Теорема 2 (обратная Т1). Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Следствие 1. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Средняя линия треугольника
Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Площадь треугольников
Площадь треугольника равна:
- половине произведения его основания на высоту $ S = \frac{1}{2} a \cdot h $;
- произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности $ S = p \cdot r $, где $ p = \frac{1}{2} (a + b + c) $;
Площадь прямоугольного треугольника равна:
- половине произведения его катетов $ S = \frac{1}{2} a \cdot b $;
Теорема 1. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Теорема 2. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Элементы тригонометрии
Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе $ \sin A = \frac{a}{c} $.
Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе $ \cos A = \frac{b}{c} $.
Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему $ tg ~A = \frac{a}{b} $.
Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему $ ctg ~A = \frac{b}{a} $.