Формулы дифференцирования — это формулы для нахождения производных конкретных функций. Производная — это мера того, насколько быстро меняется значение функции при изменении её аргумента
Таблица производных
- $ c' = 0 $, где $ c $ - константа
- $ (x)' = 1 $
- $ (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2} $
- $ (\sqrt x)' = \frac{1}{2 \sqrt x} $
- $ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $
- $ (a^x)' = a^x \cdot \ln a $, где $ a > 0$
- $ (e^x)' = e^x $
- $ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} $, где $ a > 0, a \neq 1$
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (tg ~ x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $
- $ (ctg ~ x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} $
- $ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ (arctg ~ x)' = \frac{1}{1 + x^2} $
- $ (arcctg ~ x)' = -\frac{1}{1 + x^2} $
Правила дифференцирования (нахождения производной)
- Производная константы, умноженной на функцию: $ (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) $, где $ c $ — число
- Производная суммы: $ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $
- Производная разности: $ (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) $
- Производная произведения: $ (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $
- Производная частного: $ (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} $
- Производная функции в степени константы: $ (f^c (x))' = c \cdot f^{c-1}(x) \cdot f'(x) $
- Производная функции в степени функции: $ (f^{g(x)} (x))' = f^{g(x)}(x) \cdot (f'(x) \cdot \frac{g(x)}{f(x)} + g'(x) \cdot \ln (f(x))) $
- Производная сложной функции: $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $