Формулы интегрирования — формулы нахождения первообразной конкретной функции. Интегралы бывают неопределённого и определённого типов.
Таблица первообразных
- $ \int dx = x + C $
- $ \int k dx = kx + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C $
- $ \int \frac{1}{x^2} dx = - \frac{1}{x} + C $
- $ \int \sqrt x dx = \frac{2}{3} x \sqrt x + C $
- $ \int \frac{1}{\sqrt x} dx = 2 \sqrt x + C $
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C $
- $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $
- $ \int a^{kx} dx = \frac{1}{k \ln a} a^{kx} + C $
- $ \int \frac{1}{x \pm a} dx = \ln (x \pm a) + C $
- $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} arctg ~ \frac{x}{a} + C $
- $ \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \frac{x-a}{x+a} + C $
- $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \frac{1}{a} \arcsin x + C $
- $ \int \frac{-1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \frac{1}{a} \arccos x + C $
- $ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln (x + \sqrt{x^2 \pm a^2}) + C $
- $ \int \ln x dx = x \ln x - x + C $
- $ \int \ln kx dx = x \ln kx - x + C $
- $ \int \frac{1}{x \ln x} dx = \ln | \ln x | + C $
- $ \int log_b x dx = x \frac{\ln x - 1}{\ln b} + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int \cos kx dx = \frac{1}{k} \sin kx + C $
- $ \int \cos^2 x dx = \frac{1}{2} (x + \sin x \cos x) + C $
- $ \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = tg ~ x + C $
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \sin kx dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C $
- $ \int \sin^2 x dx = \frac{1}{2} (x - \sin x \cos x) + C $
- $ \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -ctg ~ x + C $
- $ \int tg ~ x dx = - \ln \cos x + C$
- $ \int ctg ~ x dx = \ln \sin x + C $
Правила интегрирования
- Интеграл от производной: $ \int f'(x) dx = f(x) + C $
- Интеграл от функции, умноженной на константу: $ \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx $
- Интеграл суммы или разности: $ \int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx $
- Интеграл произведения: $ \int f(x) \cdot g(x) dx = f(x) \cdot \int g(x)dx - \int (\int (g(x) dx) df(x) $
- Интеграл от сложной функции, содержащей линейный аргумент: $ \int f(kx + b)dx = \frac{1}{k} F(kx +b) + C $, где $ F $ — первообразная функции $ f(kx + b) $