Математика

Формулы тригонометрии описывают связи между тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом).

Основное тригонометрическое тождество 

$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $

Основные формулы

$ tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ ctg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $

$ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 $

$ tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

$ ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $

Формулы двойных углов

$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $

$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $

$ tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} $

$ ctg 2\alpha = \frac{ctg^2 \alpha - 1}{2 ctg \alpha} $

Формулы синуса, косинуса, тангенса суммы и разности

$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $

$ \cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $

$ tg (\alpha \pm \beta) = \frac{tg \alpha \pm tg \beta}{1 \mp tg \alpha \cdot tg \beta} $

$ ctg (\alpha \pm \beta) = \frac{ctg \alpha \cdot ctg \beta \mp 1}{ctg \alpha \pm ctg \beta} $

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $

$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} $

Формулы преобразования произведения в сумму

$ 2 \cos \alpha \cos \beta = \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) $

$ 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta) $

$ 2 \sin \alpha \cos \beta = \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) $

Формулы понижения степени

$ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $

$ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $

$ tg^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} $

$ сtg^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} $

Универсальная тригонометрическая замена

Пусть $ t = tg \frac{\alpha}{2} $. Тогда

$ \sin \alpha = \frac{2t}{1 + t^2} $

$ \cos \alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $

$ tg \alpha = \frac{2t}{1 - t^2} $

Формулы половинных углов

$ tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $

$ ctg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $

Формулы тройных углов

$ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 sin^3 \alpha $

$ \cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha $