Логарифмы — это математические функции, которые являются обратными к операциям возведения в степень. Рассмотрим определение логарифма и его основные свойства.
Логарифмом числа b по основанию a (a ≠ 1, a > 0 и b > 0) называют показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.
$ \log_{a}b=c <=> a^{c} = b, $ где $ a > 0, a \neq 1, b > 0 $
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и записывают $ \log_{10}b = lg b $.
Логарифм по основанию $ e $, где $ e \thickapprox 2,7 $ — иррациональное число, называют натуральным логарифмом и записывают $ \log_{e}b = ln b $.
Свойства логарифма:
- $ \log_{a}a = 1 $
- $ \log_{a}1 = 0 $
- $ \log_{a}\frac{1}{a} = -1 $
- $ \log_{a}(a^m) = m $
- $ \log_{a^n}a = \frac{1}{n} $
- $ \log_{a}b^m = m \log_{a}b $
- $ \log_{a^n}b = \frac{1}{n} \log_{a}b $
- $ \log_{a^n}b^m = \frac{m}{n} \log_{a}b $
- $ \log_{a}(bc) = \log_{a}b + \log_{a}c $
- $ \log_{a}(\frac{b}{c}) = \log_{a}b - \log_{a}c $
- Логарифмическое тождество: $ a^{\log_{a}b} = b $
- $ a^{\log_{c}b} = b^{\log_{c}a} $
- Переход к новому основанию: $ \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a} $
- $ \log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a} $
- Перемена мест оснований логарифмов в их произведении: $ \log_{a}b \cdot \log_{c}d = \log_{c}b \cdot \log_{a}d $