Метод замены множителя или метод рационализации — метод, позволяющий перейти от неравенства, содержащего сложные показательные или логарифмические выражения в качестве множителей, к более простым рациональным неравенствам, равносильных данным.
Равносильными называются уравнения или неравенства, множества решений которых совпадают, однако сами уравнения или неравенства внешне могут быть не похожи.
Обратим внимание, что везде далее в неравенствах мы будем сравнивать выражения с нулем. В противном случае необходимо сначала преобразовать выражение в правой части неравенства, получив ноль. Пусть определены $ f, g $ — функции, зависящие от $ x $; $ h > 0, h \neq 1 $, $ k > 0, k \neq 1 $ могут быть как числом, так и функцией от $ x $. Знаком $ ∨ $ будем обозначать один из знаков неравенства $ <; >; \leq; \geq $.
| Сложный множитель | Равносильное выражение |
|
$ \log_h f - \log_h g ~ ∨ ~ 0$ |
$ (h - 1)(f - g) ~ ∨ ~ 0 $ |
|
$ \log_h f - \log_k f ~ ∨ ~ 0$ |
$ (h - 1)(k - 1)(f - 1)(k - h) $ |
|
$ \log_h f - 1 ~ ∨ ~ 0 $ |
$ (h - 1)(f - h) ~ ∨ ~ 0 $ |
|
$ \log_h f ~ ∨ ~ 0 $ |
$ (h - 1)(f - 1) ~ ∨ ~ 0 $ |
|
$ h^f - h^g ~ ∨ ~ 0 $ |
$ (h - 1)(f - g) ~ ∨ ~ 0 $ |
|
$ h^f - 1 ~ ∨ ~ 0 $ |
$ (h - 1) \cdot f ~ ∨ ~ 0 $ |
|
$ f^h - g^h ~ ∨ ~ 0 $ |
$ (f - g) \cdot h ~ ∨ ~ 0 $ |
|
$ \sqrt{f} - \sqrt{g} $ |
$ f - g $ |
|
$ |f| - |g| $ |
$ (f - g)(f + g) $ |
|
$ |f| - \sqrt{g} $ |
$ f^2 - g $ |